La derivada y su funcion

1. Lee con atención la siguiente situación:

Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 5x2 + 3x

Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate se necesitan

c (1,150) = 5 (1,150)2 + 3(1,150) = 6,615,950 (seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).

Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:

                Se deriva la función del costo de producción

c(x)= 5x2+3x

Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:

〖dx〗^n/dx=〖nx〗^(n-1)

                El resultado o la derivada de la función de producción total es:

(d(〖5x〗^2+3x))/dx=2*〖5x〗^(2-1)+3=10x+3

2. A partir de lo anterior, responde:

• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 1,180 toneladas de jitomate?

El mismo problema nos plantea la resolución del mismo al indicarnos la forma en la cual deberá resolverse por medio del ejemplo entonces podremos ocupar la siguiente formula

(d(〖5x〗^2+3x))/dx=2*〖5x〗^(2-1)+3=10x+3

Entonces nos queda lo siguiente al reunir los datos de la operación, X1 es el total de toneladas que tenemos y sabemos el resultado de su producción así que ahora solo tenemos que agregar 30 toneladas más a la producción para obtener X2 y así sabremos que vale a 1,180 y de ahí partiremos para conocer el resultado refiriéndonos al costo de producción

X_1=1,150

X_2=1,180

Ahora si podemos comenzar con la resolución del problema derivando la función

f(x)=〖5x〗^2+3x

f(x)=10x+3

Ahora si nos queda lo siguiente

X_1=1,150

X_2=1,180

m=10x+3

〖f(X〗_(2))=y_2=6,615,950

Emplearemos esta formula

m=(〖f(X〗_2)-f(X_1))/(X_2-X_1 )

Ahora sustituiremos los valores para poder comenzar con la ejecución de la ecuación

10x+3=(f(X_2 )-f(X_1 ))/(1,180-1,150)

Se notará que no se han despejado todos los valores esto es debido a que el despeje siguiente puede ser mejor comprendido al utilizar estos datos dentro de la formula

10x+3=(〖f(X〗_2)-f(X_1))/20

(10x+3)30=〖f(X〗_2)-f(X_1)

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=(10x+3)30

Para resolver esta parte la operación será realizada por partes primero multiplicamos 30 *10x después 30*3 y así obtendremos el siguiente resultado.

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=300x+60

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=300(1,150)+60

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=345,060

X=36,004,5060

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=300x+60

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=300(1,180)+60

〖f(X〗_2)-f(X_1 )=354060

• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 1,180 toneladas de jitomate?

R= Así que deberán pagarse 354,060 trescientos cincuenta y cuatro mil sesenta pesos

• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?

Como el problema solicita en esta ocasión conocer el valor que tendrá la producción en caso de aumentar, se aplicó la derivada para conocer cuánto aumenta el precio al incrementar el volumen en 30 toneladas o lo que es lo mismo para obtener el valor del precio comercial de 1180 toneladas de producción

Bibliografía

Prepenlineasep,com. (s.f). Derivadas. Obtenido de Contenido extenso modulo 18 unidad 1: http://148.247.220.211/pluginfile.php/30162/mod_resource/content/1/M18_U1.pdf